
\prob{0023}{一元四次方程}

推导标准一元四次方程$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\quad(a \ne0)$的求根公式。
\problabels{yellow/代数, green/方程相关问题}

\ans{参见解法末尾。}

\subsection{换元法}

基本思路：通过多次换元消去三次项，然后两边配方，解一个一元三次方程，最后开平方根，解两个一元二次方程，得出求根公式。

\subsubsection{消去三次项}

为了消去三次项，将$x = y + t$代入方程得
\begin{align*}
  a(y + t)^4 + b(y + t)^3 & \\
  + c(y + t)^2 + d(y + t) + e &= 0 \\
  ay^4 + (4at + b)y^3 + (6at^2 + 3bt + c)y^2 & \\
  + (4at^3 + 3bt^2 + 2ct + d)y & \\
  + (at^4 + bt^3 + ct^2 + dt + e) &= 0
\end{align*}

当且仅当$4at + b = 0$，即$t = -b/(4a)$时，三次项被消去。因此，令$t = -b/(4a)$，于是$x = y - b/(4a)$，则
\begin{align*}
  ay^4 + \left(-\frac{3b^2}{8a} + c\right)y^2 + \left(\frac{b^3}{8a^2} - \frac{bc}{2a} + d\right)y & \\
  + \left(-\frac{b^4}{256a^3} + \frac{b^2c}{16a^2} - \frac{bd}{4a} + e\right) &= 0 \\
  y^4 + \left(-\frac{3b^2}{8a^2} + \frac ca\right)y^2 + \left(\frac{b^3}{8a^3} - \frac{bc}{2a^2} + \frac da\right)y & \\
  + \left(-\frac{b^4}{256a^4} + \frac{b^2c}{16a^3} - \frac{bd}{4a^2} + \frac ea\right) &= 0
\end{align*}

\subsubsection{配方}

令
\begin{align*}
  u &= \frac{3b^2}{8a^2} - \frac ca \\
  v &= -\frac{b^3}{8a^3} + \frac{bc}{2a^2} - \frac da \\
  w &= \frac{b^4}{256a^4} - \frac{b^2c}{16a^3} + \frac{bd}{4a^2} - \frac ea
\end{align*}
则
\[ y^4 = uy^2 + vy + w \]
等式两边同时加上$2ky^2 + k^2$得
\begin{align*}
  y^4 + 2ky^2 + k^2 &= (u + 2k)y^2 + vy + (w + k^2) \\
  (y^2 + k)^2 &= (u + 2k)y^2 + vy + (w + k^2)
\end{align*}

当且仅当等式右边的二次三项式的判别式$\Delta = v^2 - 4(u + 2k)(w + k^2) = 0$时，该二次三项式可以配成完全平方式。由此可得关于$k$的一元三次方程
\begin{align*}
  4(u + 2k)(w + k^2) &= v^2 \\
  8k^3 + 4uk^2 + 8wk + (4uw - v^2) &= 0
\end{align*}
代入一元三次方程求根公式\footnote{一元三次方程解法参见第~\ref{sec:0022} 题。}得其一个根为
\[ k = \sqrt[3]{-p + \sqrt{p^2 + q^3}} + \sqrt[3]{-p - \sqrt{p^2 + q^3}} - \frac u6 \]
其中
\begin{align*}
  p &= \frac{u^3}{216} + \frac{uw}6 - \frac{v^2}{16} \\
  q &= -\frac{u^2}{36} + \frac w3
\end{align*}
此时等号两边可以配成完全平方式
\[ (y^2 + k)^2 = \left(\sqrt{u + 2k}y + \sqrt{w + k^2}\right)^2 \]
两边开平方根可得两个一元二次方程
\begin{align*}
  y^2 + k &= \sqrt{u + 2k}y + \sqrt{w + k^2} \\
  y^2 + k &= -\sqrt{u + 2k}y - \sqrt{w + k^2}
\end{align*}
解得
\[
  \left\{ \begin{aligned}
    y_{1,2} &= \frac12\ \bigg(\sqrt{u + 2k} \\
    &\pm\sqrt{u - 2k + 4\sqrt{w + k^2}}\bigg) \\
    y_{3,4} &= \frac12\ \bigg(-\sqrt{u + 2k} \\
    &\pm\sqrt{u - 2k - 4\sqrt{w + k^2}}\bigg)
  \end{aligned} \right.
\]
代入$x = y - b/(4a)$可得一元四次方程求根公式：
\[
  \left\{ \begin{aligned}
    x_{1,2} &= \frac12\ \Bigg(\sqrt{u + 2k} \\
    &\pm\sqrt{u - 2k + 4\sqrt{w + k^2}} - \frac b{2a}\Bigg) \\
    x_{3,4} &= \frac12\ \Bigg(-\sqrt{u + 2k} \\
    &\pm\sqrt{u - 2k - 4\sqrt{w + k^2}} - \frac b{2a}\Bigg)
  \end{aligned} \right.
\]
其中
\begin{align*}
  u &= \frac{3b^2}{8a^2} - \frac ca \\
  v &= -\frac{b^3}{8a^3} + \frac{bc}{2a^2} - \frac da \\
  w &= \frac{b^4}{256a^4} - \frac{b^2c}{16a^3} + \frac{bd}{4a^2} - \frac ea \\
  p &= \frac{u^3}{216} + \frac{uw}6 - \frac{v^2}{16} \\
  q &= -\frac{u^2}{36} + \frac w3 \\
  k &= \sqrt[3]{-p + \sqrt{p^2 + q^3}} + \sqrt[3]{-p - \sqrt{p^2 + q^3}} - \frac u6
\end{align*}
